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NUMERI razionale e irrazionale C ALCULUS è una teoria della misura. I numeri necessari sono razionali e irrazionali. Ma partiamo dall'inizio. I seguenti numeri dell'aritmetica sono il conteggio numeri o, come vengono chiamati, i numeri naturali: 1, 2, 3, 4, e così via. (In ogni caso, questi sono i loro numeri.) Se includiamo 0, abbiamo i numeri interi: 0, 1, 2, 3, e così via. E se includiamo loro negativi algebriche, abbiamo i numeri interi: 0, & plusmn; 1, & plusmn; 2, & plusmn; 3, e così via. & Plusmn; ( "Più o meno") è chiamato il doppio segno. Di seguito sono riportati i numeri quadrati. o dei quadrati perfetti: 1 4 9 16 25 36 49 64, e così via. Sono i numeri 1 & middot; 1, 2 & middot; 2, 3 & middot; 3, 4 & middot; 4, e così via. Numeri razionali e irrazionali 1. Che cosa è un numero razionale? Un numero razionale è semplicemente un numero di aritmetica: un numero intero, una frazione, un numero misto, o decimale; insieme alla sua immagine negativa. Perché si chiama razionale? Ogni numero di aritmetica ha un nome che indica il suo rapporto di 1, che è la sua fonte. Un numero intero, come "Five", è cinque volte 1. Una frazione, come "Due terzi," è di due terzi del 1. Un numero misto, "Tre e un decimo," è tre volte 1 più una decimo di 1. Vedremo che il linguaggio non può esprimere il rapporto di un numero irrazionale a 1. Per di più, siamo in grado in linea di principio (da Euclide VI, 9) inserire qualsiasi numero razionale esattamente sulla linea numero. Possiamo dire che siamo veramente conosciamo un numero razionale. 2. Quale dei seguenti numeri sono razionali? Per vedere la risposta, passare il mouse sopra l'area colorata. Per coprire di nuovo la risposta, fare clic su "Refresh" ( "Ricarica"). Tutti loro. Tutti i decimali sono razionali. Quella lunga è una approssimazione a & PI ;. che, come vedremo, è diverso da qualsiasi decimale. Per se fosse, sarebbe razionale. 3. Un numero razionale può sempre essere scritto in quale forma? Questa è la definizione formale di un numero razionale. E 'così che possiamo fare qualsiasi numero di sguardo aritmetica. Un numero intero stessa può essere scritto come una frazione: b = 1. E da aritmetica. sappiamo che siamo in grado di scrivere un decimale come una frazione. Quando A e B sono numeri naturali, quindi la frazione ha lo stesso rapporto di 1 come numeratore denominatore. Da qui il nome, numero razionale. (È di 1 come 2 è a 3. 2 è due terzi del 3. è di due terzi del 1.) Il fatto che abbiamo anche chiamare un numero di "razionale" è perché ci sono numeri che non sono razionali. Un esempio è ( "radice quadrata di 2"). Non è possibile dare un nome qualsiasi numero di aritmetica - qualsiasi numero intero, ogni frazione, o qualsiasi decimale - il cui quadrato è 2. perché è vicino - Che è quasi 2. Per dimostrare che non esiste un numero razionale il cui quadrato è 2, supponiamo che ci sono stati. Allora potremmo esprimerlo come frazione in minimi termini. Cioè, supponiamo Ma questo è impossibile. Dal momento che è ai minimi termini, quindi men non hanno divisori comuni ad eccezione di 1. Pertanto, m & middot; m e n & middot; n hanno anche non comuni divisori - sono relativamente primi - e sarà impossibile dividere n & middot; n in m & middot; m 2 e ottenere. Non esiste un numero razionale - nessun numero di aritmetica - il cui quadrato è 2. Per questo chiamiamo un numero irrazionale. Ricordando il teorema di Pitagora. possiamo vedere che i numeri irrazionali sono necessarie. Per se i lati di un triangolo rettangolo isoscele sono chiamati 1, allora avremo 1 2 + 1 2 = 2, in modo che l'ipotenusa è. C'è davvero una lunghezza che merita logicamente il nome, "." Poiché i numeri citarne le lunghezze delle linee, allora è un numero. 4. numeri naturali che hanno radici quadrate razionali? Soltanto le radici quadrate dei numeri quadrati; cioè, le radici quadrate dei quadrati perfetti. Le radici quadrate dei numeri quadrati sono le uniche radici quadrate che possiamo nominare. Ciò risulta dalla stessa prova che è irrazionale. L'esistenza di irrazionali è stato realizzato da Pitagora nel 6 ° secolo aC Si rese conto che, in un quadrato di lato 1, il rapporto della diagonale al lato non era come due numeri naturali. Il loro rapporto, ha detto, era "senza nome". Infatti, se ci chiediamo: "Che rapporto ha la diagonale di lato?" - Non si può dire. Possiamo esprimerlo solo come "radice quadrata di 2." 5. Pronunciare il nome di ogni numero. a) "radice quadrata di 3." b) "Radice quadrata di 5." c) "2." Si tratta di una razionale - nominabile - numero. d) "Radice quadrata di 3/5". Allo stesso modo abbiamo visto che solo le radici quadrate di numeri quadrati sono razionali, abbiamo potuto dimostrare che solo il n ° radici di n ° poteri sono razionali. Così, il 5 ° radice 32 è razionale, perché 32 è un 5a potenza, vale a dire il 5 potenza di 2. Ma il 5 radice 33 è irrazionale. 33 non è un 5a potenza perfetta. La rappresentazione decimale di irrazionali Quando esprimiamo un numero razionale come un decimale, allora o decimale sarà esatto, come =. 25, o non sarà, come. 3333. Tuttavia, ci sarà un modello prevedibile di cifre. Ma quando esprimiamo un numero irrazionale come decimale, allora è chiaro che non sarà precisa, in quanto lo fosse, il numero sarebbe razionale. Inoltre, non ci sarà un modello prevedibile di cifre. Per esempio, Ora, con i numeri razionali a volte si vede Scrivendo sia il segno di uguale = e tre puntini (ellissi) si intende: "Non è possibile esprimere esattamente come decimale Tuttavia, si può approssimare con il maggior numero di cifre decimali come ci pare secondo il modello indicato,.. E le più cifre decimali che scriviamo, più saremo a" Ciò rende chiaro il punto di vista che risponde a questa domanda: nella matematica di calcolo e di misura, che include il calcolo, quando possiamo dire che esiste un numero. Qualsiasi cosa esiste perché è l'effetto di una causa. Una approssimazione decimale, quindi, esisterà quando qualcuno lo calcola. Nulla potrebbe causare una infinità di esistere. ( ". 090909 va avanti per sempre.") E 'un frutto dell'immaginazione. Tali infiniti non sono tenuti a risolvere qualsiasi problema in aritmetica o di calcolo; non hanno conseguenze e quindi non sono nemmeno necessario. se immaginiamo. tuttavia, che il decimale è andato avanti per sempre, allora 1) non sarebbe mai essere completa e non avrebbe mai uguali; e 2) non sarebbe un numero. Perchè no? Perché, come ogni numero, un numero decimale ha un nome. Non è che non riusciremo mai a finire nominare una sequenza infinita di cifre. Non possiamo nemmeno cominciare. Diciamo che ogni decimale per è inesatta. Ma il decimale per, che è. 25, è esatto. Il decimale per un numero irrazionale è sempre inesatta. Un esempio è il decimale per sopra. Se scriviamo ellissi - Nessun decimale per sarà esatto. Inoltre, non ci sarà un modello prevedibile di cifre. Potremmo continuare la sua approssimazione razionale per il maggior numero di cifre decimali come ci pare mediante l'algoritmo, o un metodo, per calcolare ogni cifra successiva (non oggetto di questi argomenti); e ancora, le cifre più calcoliamo, più ci saranno a. E 'importante capire che non decimale che tu o chiunque potrà mai vedere è uguale a. o & PI ;. o un qualsiasi numero irrazionale. Sappiamo che un numero irrazionale solo come approssimazione razionale. E se si sceglie una approssimazione decimale, poi i più cifre decimali calcoliamo, più saremo al valore. Per riassumere, un numero razionale è un numero possiamo conoscere e nome esattamente, sia come numero intero, una frazione o un numero misto, ma non sempre esattamente come decimale. Un numero irrazionale possiamo mai sapere esattamente in qualsiasi forma. Il linguaggio di aritmetica è il rapporto. È la lingua con cui ci rapportiamo numeri razionali fra loro, ed a 1, che è la fonte. I numeri interi sono i multipli di 1, le frazioni sono le sue parti: le sue metà, terzi, quarti, milionesimi. Ma il linguaggio è incapace di relazionarsi un numero irrazionale a 1. Come Pitagora, non possiamo dire. Un numero irrazionale e 1 sono incommensurabili. 5. Qual è un numero reale? Un numero reale si distingue da un numero immaginario o complessa. E 'quello che noi chiamiamo un qualsiasi numero razionale o irrazionale. Sono i numeri che ci aspettiamo di trovare sulla linea numero. Sono i numeri di cui abbiamo bisogno per la misurazione. (Una misura reale può risultare solo in un numero razionale. Un numero irrazionale può risultare solo da un calcolo teorico o una definizione. Esempi di calcolo sono il teorema di Pitagora, e la soluzione di un'equazione, come x 3 = 5. L'irrazionale numero e pi; è definito come il rapporto tra la circonferenza di un cerchio del diametro). Problema 1. Abbiamo classificato i numeri reali. razionale. irrazionale. e intero. Nome tutte le categorie a cui ciascuno dei seguenti appartiene. 3 reale, razionale, intero.
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